Q2 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2021)

Sejam $m$ e $n$ inteiros positivos. Alguns quadrados de um tabuleiro $m\times n$ são coloridos de vermelho. Uma sequência $a_1,a_2,\dots ,a_{2r}$ de $2r\ge 4$ quadrados vermelhos distintos aos pares é chamada de circuito bispo se para cada $k\in \{1,\dots ,2r\}$, os quadrados $a_k$ e $a_{k+1}$ estão na diagonal, mas os quadrados $a_k$ e $a_{k+2}$ não estão na diagonal (aqui $a_{2r+1}=a_1$ e $a_{2r+2}=a_2$). Em termos de $m$ e $n$, determine o número máximo possível de quadrados vermelhos em um tabuleiro $m\times n$ sem um circuito de bispo. (Observação. Dois quadrados estão em uma diagonal se a linha que passa por seus centros intercepta os lados do tabuleiro em um ângulo de $45^{\circ }$.)