Q1 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2020)

Seja $\mathbb{N}$ o conjunto dos inteiros positivos. Determine todos os inteiros positivos $k$ para os quais existem funções $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ e $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tais que $g$ assume infinitos valores e tal que $$f^{g(n)}(n)=f(n)+k$$ vale para todo inteiro positivo $n$. (Observação. Aqui, $f^i$ denota a função $f$ aplicada $i$ vezes, ou seja, $f^i(j)=f(f(\dots f(j)\dots ))$. )