Q7 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2019)

Há $n$ meninos e $n$ meninas em uma classe escolar, onde $n$ é um número inteiro positivo. As alturas de todas as crianças nesta classe são distintas. Cada menina determina o número de meninos que são mais altos que ela, subtrai o número de meninas que são mais altas que ela e escreve o resultado em um pedaço de papel. Cada menino determina o número de meninas que são mais baixas que ele, subtrai o número de meninos que são mais baixos que ele e escreve o resultado em um pedaço de papel. Prove que os números escritos pelas meninas são os mesmos que os números escritos pelos meninos (até uma permutação). Proposto por Stephan Wagner, Áustria