Q4 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2018)

(a) Prove que para todo inteiro positivo $m$ existe um inteiro $n\ge m$ tal que $$\begin{gathered} \lfloor \frac{n}{1}\rfloor \cdot \lfloor \frac{n}{2}\rfloor \cdots \lfloor \frac{n}{m}\rfloor =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right) \\ (\ast ) \end{gathered}$$(b) Denote por $p(m)$ o menor inteiro $n\ge m$ tal que a equação $(\ast )$ é válida. Prove que $p(2018)=p(2019).$ Observação: Para um número real $x,$ denotamos por $\lfloor x\rfloor$ o maior inteiro não maior que $x.$