Q8 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2017)

Seja $n\ge 3$ um inteiro. Uma sequência $P_1,P_2,\dots ,P_n$ de pontos distintos no plano é chamada boa se três deles não forem colineares, a polilinha $P_1{P}_2\dots P_n$ não for auto-intersecionada e o triângulo $P_i{P}_{i+1}{P}_{i+2}$ é orientado no sentido anti-horário para cada $i=1,2,\dots ,n-2$. Para cada inteiro $n\ge 3$ determine o maior inteiro possível $k$ com a seguinte propriedade: existem $n$ pontos distintos $A_1,A_2,\dots ,A_n$ no plano para os quais existem $k$ distintos permutações $\sigma :\{1,2,\dots ,n\}\to \{1,2,\dots ,n\}$ tal que $A_{\sigma (1)},A_{\sigma (2)},\dots ,A_{\sigma (n)}$ é bom. (Uma polilinha $P_1{P}_2\dots P_n$ consiste nos segmentos $P_1{P}_2,P_2{P}_3,\dots ,P_{n-1}{P}_n$.)