Q10 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2016)

Seja $ABC$ um triângulo para o qual $AB\ne AC$. Os pontos $K$, $L$, $M$ são os pontos médios dos lados $BC$, $CA$, $AB$. A circunferência de $ABC$ com centro $I$ é tangente a $BC$ em $D$. Uma linha que passa pelo ponto médio de $ID$ perpendicular a $IK$ encontra a linha $LM$ em $P$. Prove que $\angle PIA=90^{\circ }$.