Q9 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2016)

Seja $ABC$ um triângulo agudo para o qual $AB\ne AC$, e seja $O$ seu circuncentro. A linha $AO$ encontra o círculo circunscrito de $ABC$ novamente em $D$, e a linha $BC$ em $E$. O círculo circunscrito de $CDE$ encontra a linha $CA$ novamente em $P$. As linhas $PE$ e $AB$ se cruzam em $Q$. A linha que passa por $O$ paralela à linha $PE$ intercepta a $A$-altitude de $ABC$ em $F$. Prove que $FP=FQ$.