Q2 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2015)

Seja $n\ge 3$ um inteiro. Uma diagonal interna de um $n$-gon simples é uma diagonal que está contida no $n$-gon. Denote por $D(P)$ o número de todas as diagonais internas de um $n$-gon $P$ simples e por $D(n)$ o menor valor possível de $D(Q)$, onde $Q$ é um simples $n$-gon. Prove que duas diagonais internas de $P$ não se cruzam (exceto possivelmente em um ponto final comum) se e somente se $D(P)=D(n)$. Observação: Um simples $n$-gon é um polígono sem auto-intersecção com $n$ vértices. Um polígono não é necessariamente convexo.