Q10 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2013)

Seja $K$ um ponto dentro de um triângulo agudo $ABC$, tal que $BC$ seja uma tangente comum das circunferências de $AKB$ e $AKC$. Seja $D$ a intersecção das linhas $CK$ e $AB$, e seja $E$ a intersecção das linhas $BK$ e $AC$ . Seja $F$ a interseção da reta $BC$ e a mediatriz do segmento $DE$. A circunferência de $ABC$ e a circunferência $k$ de centro $F$ e raio $FD$ se cruzam nos pontos $P$ e $Q$. Prove que o segmento $PQ$ tem um diâmetro de $k$.