Q8 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2012)

Seja $p>2$ um número primo. Para qualquer permutação $\pi =(\pi (1),\pi (2),\cdots ,\pi (p))$ do conjunto $S=\{1,2,\cdots ,p\}$, seja $f(\pi )$ o número de múltiplos de $p$ entre os seguintes $p$ números: $$\pi (1),\pi (1)+\pi (2),\cdots ,\pi (1)+\pi (2)+\cdots +\pi (p)$$ Determine o valor médio de $f(\pi )$ tomado sobre todas as permutações $\pi$ de $S$.