Q2 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2011)

Seja $n\ge 3$ um inteiro. John e Mary jogam o seguinte jogo: primeiro John rotula os lados de um $n$-gon regular com os números $1,2,\dots ,n$ na ordem que ele quiser, usando cada número exatamente uma vez. Então Mary divide este $n$-gon em triângulos desenhando $n-3$ diagonais que não se cruzam dentro do $n$-gon. Todas essas diagonais são rotuladas com o número $1$. Em cada um dos triângulos está escrito o produto dos números de seus lados. Seja S a soma desses $n-2$ produtos. Determine o valor de $S$ se Maria quiser que o número $S$ seja o menor possível e João quiser que $S$ seja o maior possível e se ambos fizerem as melhores escolhas possíveis.