Q1 Matemática (Middle European Mathematical Olympiad 2011)

01 | Middle European Mathematical Olympiad | 2011 | Matemática

Inicialmente, apenas o inteiro $44$ é escrito em um quadro. Um inteiro a no tabuleiro pode ser substituído por quatro pares inteiros diferentes $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ de modo que a média aritmética $\frac{1}{4} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4})$ dos quatro novos inteiros seja igual ao número $a$ . Em uma etapa, substituímos simultaneamente todos os números inteiros na placa da maneira acima. Após passos de $30$ , terminamos com $n = 4^{30}$ inteiros $b_{1}, b 2, \dots, b_{n}$ no tabuleiro. Prove que $\frac{b _{1}^{2} + b _{2}^{2} + b _{3}^{2} + \dots + b _{n}^{2}}{n} \geq 2011.$