Q11 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2010)

Para um inteiro não negativo $n$, defina $a_n$ como o inteiro positivo com representação decimal $$1\underset{n}{\underbrace{0\dots 0}}2\underset{n}{\underbrace{0\dots 0}}2\underset{n}{\underbrace{0\dots 0}}1\text{mbox}.$$ Prove que $\frac{a_n}{3}$ é sempre a soma de dois cubos perfeitos positivos, mas nunca a soma de dois quadrados perfeitos. (4ª Olimpíada de Matemática da Europa Central, Competição por Equipes, Problema 7)