Q2 Matemática  (Middle European Mathematical Olympiad 2007)

Um conjunto de bolas contém $n$ bolas que são rotuladas com os números $1,2,3,\dots ,n.$ Recebemos $k>1$ desses conjuntos. Queremos colorir as bolas com duas cores, preto e branco, de tal forma que (a) as bolas marcadas com o mesmo número sejam da mesma cor, (b) qualquer subconjunto de bolas $k+1$ com (não necessariamente diferentes) rótulos $a_1,a_2,\dots ,a_{k+1}$ satisfazendo a condição $a_1+a_2+\dots +a_k=a_{k+1}$, contém pelo menos uma bola de cada cor. Encontre, dependendo de $k$, o maior número possível $n$ que admita tal coloração.