Q1 Matemática  (Mediterranean Mathematics Olympiad 2019)

Seja $\Delta ABC$ um triângulo com ângulo $\angle CAB=60^{\circ }$, seja $D$ o ponto de interseção da bissetriz do ângulo em $A$ e o lado $BC$, e seja $r_B,r_C,r$ são os respectivos raios dos círculos de $ABD$, $ADC$, $ABC$. Sejam $b$ e $c$ os comprimentos dos lados $AC$ e $AB$ do triângulo. Prove que $$\frac{1}{r_B}+\frac{1}{r_C}=2\cdot \left(\frac{1}{r}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$