Q3 Matemática  (Mediterranean Mathematics Olympiad 2018)

Um inteiro $a\ge 1$ é chamado de Egeu, se nenhum dos números $a^{n+2}+3a^n+1$ com $n\ge 1$ for primo. Prove que existem pelo menos 500 inteiros do mar Egeu no conjunto $\{1,2,\dots ,2018\}$. (Proposto por Gerhard Woeginger, Áustria)