Q4 Matemática  (Mediterranean Mathematics Olympiad 2017)

Sejam $x,y,z$ e $a,b,c$ números reais positivos com $a+b+c=1$. Prove que $$\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{a^3}{x^2+2y^2}+\frac{b^3}{y^2+2z^2}+\frac{c^3}{z^2+2x^2}\right)\ge \frac{1}{9}.$$