Q4 Matemática  (Mediterranean Mathematics Olympiad 2014)

No triângulo $ABC$ sejam $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ respectivamente os pontos médios dos lados $BC$, $CA$, $AB$. Além disso, sejam $L$, $M$, $N$ as projeções do ortocentro nos três lados $BC$, $CA$, $AB$ e $k$ denotando o círculo de nove pontos. As linhas $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ cruzam $k$ nos pontos $D$, $E$, $F$. As retas tangentes em $k$ em $D$, $E$, $F$ interceptam as retas $MN$, $LN$ e $LM$ nos pontos $P$, $Q$, $R$. Prove que $P$, $Q$ e $R$ são colineares.