Q4 Matemática  (Mediterranean Mathematics Olympiad 2012)

Seja $O$ o circuncentro, $R$ o circumradius e $k$ o circumcircle de um triângulo $ABC$ . Seja $k_1$ um círculo tangente aos raios $AB$ e $AC$, e também internamente tangente a $k$. Seja $k_2$ um círculo tangente aos raios $AB$ e $AC$ , e também externamente tangente a $k$. Seja $A_1$ e $A_2$ os respectivos centros de $k_1$ e $k_2$. Prove que: $(O{A}_1+O{A}_2{)}^2-A_1{A}_2^2=4R^2.$