Q2 Matemática  (Mediterranean Mathematics Olympiad 2010)

Dados os números reais positivos $a_1,a_2,\dots ,a_n,$ tais que $n>2$ e $a_1+a_2+\cdots +a_n=1,$ prova que a desigualdade $$\frac{a_2\cdot a_3\cdot \cdots \cdot a_n}{a_1+n-2}+\frac{a_1\cdot a_3\cdot \cdots \cdot a_n}{a_2+n-2}+\cdots +\frac{a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_{n-1}}{a_n+n-2}\le \frac{1}{{\left(n-1\right)}^2}$$ vale.