Q3 Matemática  (Mediterranean Mathematics Olympiad 2009)

Decida se os inteiros $1,2,\dots ,100$ podem ser organizados nas células $C(i,j)$ de uma matriz $10\times 10$ (onde $1\le i,j\le 10$), tal que as seguintes condições são cumpridas: i) Em cada linha, as entradas somam a mesma soma $S$. ii) Em cada coluna, as entradas também somam $S$. iii) Para cada $k=1,2,\dots ,10$ as dez entradas $C(i,j)$ com $ij\equiv k\mathrm{mod}10$ somam $S$. (Proposto por Gerhard Woeginger, Áustria)