Q4 Matemática  (Mediterranean Mathematics Olympiad 2008)

A sequência de polinômios $(a_n)$ é definida por $a_0=0$, $a_1=x+2$ e $a_n=a_{n-1}+3a_{n-1}{a}_{n-2}+a_{n-2}$ para $n>1$. (a) Mostre para todos os inteiros positivos $k,m$: se $k$ divide $m$ então $a_k$ divide $a_m$. (b) Encontre todos os inteiros positivos $n$ tais que a soma das raízes do polinômio $a_n$ seja um inteiro.