Q5 Matemática  (Mediterranean Mathematics Olympiad 2005)

Sejam $A_1,A_2,\dots ,A_n$ $(n\ge 3)$ conjuntos finitos de inteiros positivos. Prove que $$\frac{1}{n}\left(\sum _{i=1}^n|A_i|\right)+\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)}\sum _{1\le i<j<k\le n}|A_i\cap A_j\cap A_k|\ge \frac{2}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}\sum _{1\le i<j\le n}|A_i\cap A_j|$$ vale, onde $|E|$ é a cardinalidade do conjunto $E$