Q4 Matemática (Mediterranean Mathematics Olympiad 2001)

04 | Mediterranean Mathematics Olympiad | 2001 | Matemática

Seja $S$ o conjunto de pontos dentro de um determinado triângulo equilátero $A BC$ com lado $1$ ou em sua fronteira. Para qualquer $M \in S, a_{M}, b_{M}, c_{M}$ denotam as distâncias de $M$ a $BC, C A, A B$ , respectivamente. Defina $f (M) = a_{M}^{3} (b_{M} - c_{M}) + b_{M}^{3} (c_{M} - a_{M}) + c_{M}^{3} (a_{M} - b_{M}) .$ (a) Descreva o conjunto ${M \in S ∣ f (M) \geq 0}$ geometricamente. (b) Encontre os valores mínimo e máximo de $f (M)$ , bem como os pontos em que eles são atingidos.