Q6 Matemática  (Lusophon Mathematical Olympiad 2021)

Um inteiro positivo $n$ é chamado $omopeiro$ se existem $n$ inteiros diferentes de zero que não são necessariamente distintos tal que $2021$ é a soma dos quadrados desses $n$ inteiros. Por exemplo, o número $2$ não é um $omopeiro$, porque $2021$ não é uma soma de dois quadrados diferentes de zero, mas $2021$ é um $omopeiro$, porque $2021=1^2+1^2+\cdots +1^2$, que é uma soma de $2021$ quadrados do número $1$. Prove que existem mais de 1500 números $omopeiro$. Nota: provar que existem pelo menos 500 números $omopeiro$ vale 2 pontos.