Q14 Matemática  (KoMaL A Problems 2022)

Seja $p$ um número primo e $k$ um número inteiro positivo. Seja $$t=\sum _{i=0}^{\infty }\lfloor \frac{k}{p^i}\rfloor .$$a) Seja $f(x)$ um polinômio de grau $k$ com coeficientes inteiros tais que seu coeficiente principal seja $1$ e sua constante seja divisível por $p.$ prove que existe $n\in \mathbb{N}$ para o qual $p\mid f(n),$ mas $p^{t+1}\nmid f(n).$ b) Prove que a afirmação acima é nítida, ou seja, existe um polinômio $g(x)$ de grau $k,$ coeficientes inteiros, coeficiente principal $1$ e constante divisível por $p$ tal que se $p\mid g(n)$ for verdadeiro para um certo $n\in \mathbb{N},$ então $p^t\mid g(n)$ também vale . Proposto por Kristóf Szabó, Budapeste