Q18 Matemática  (KoMaL A Problems 2021)

Seja $k\ge t\ge 2$ inteiros positivos. Para inteiros $n\ge k$, seja $p_n$ a probabilidade de que, se escolhermos $k$ dos primeiros $n$ inteiros positivos aleatoriamente, quaisquer $t$ dos $k$ inteiros escolhidos tenham o máximo divisor comum $1$. Seja qn a probabilidade de que, se escolhermos $k-t+1$ dos primeiros $n$ inteiros positivos, o produto não seja divisível por uma potência perfeita de $t^{th}$ maior que $1$. Prove que as sequências $p_n$ e $q_n$ convergem para o mesmo valor.