Q12 Matemática  (KoMaL A Problems 2021)

É fornecida uma lâmpada que emite luz vermelha, verde ou azul e um conjunto infinito de interruptores $S$, cada um com três posições rotuladas de vermelho, verde e azul. Sabemos o seguinte: Para cada combinação dos interruptores a lâmpada emite uma determinada cor. Se todos os interruptores estiverem em uma posição com uma determinada cor, a lâmpada emite a mesma cor. Se houver duas combinações de interruptores em que cada interruptor esteja em uma posição diferente, a lâmpada emite uma cor diferente para as duas combinações. Criamos o seguinte conjunto $U$ contendo alguns dos subconjuntos de $S$: para cada combinação dos interruptores vamos observar a cor da lâmpada, e colocar o conjunto desses interruptores em $U$ que estão na mesma posição como a cor da lâmpada. Prove que $U$ é um ultrafiltro em $S$. Em outras palavras, prove que $U$ satisfaz as seguintes condições: O conjunto vazio não está em $U.$ Se dois conjuntos estão em $U,$ sua interseção também está em $U.$ Se um conjunto está em $U,$ todo subconjunto de $S$ que o contém também está em $U.$ Considerando um conjunto e seu complemento em $S,$ exatamente um desses conjuntos está contido em $U.$