Q5 Matemática  (KoMaL A Problems 2021)

Seja $0<p<1$. Inicialmente, temos $n$ moedas, todas com probabilidade $p$ de dar cara e probabilidade $1-p$ de dar coroa (os resultados dos lançamentos são independentes uns dos outros). Em cada rodada, jogamos nossas moedas e removemos aquelas que resultam em cara. Continuamos repetindo isso até que todas as nossas moedas sejam removidas. Seja $k_n$ o número esperado de rodadas necessárias para se livrar de todas as moedas. Prove que existe $c>0$ para o qual a seguinte desigualdade vale para todo $n>0$ $$c(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}bigg)<k_n<1+c(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}).$$