Q4 Matemática  (KoMaL A Problems 2021)

Para um determinado quadrilátero $A_1{A}_2{B}_1{B}_2,$ um ponto $P$ é chamado de fenomenal, se os segmentos de reta $A_1{A}_2$ e $B_1{B}_2$ subtendem o mesmo ângulo no ponto $P$ (ou seja, os triângulos $P{A}_1{A}_2$ e $P{B}_1{B}_2$ que também podem ser também degenerados têm ângulos internos iguais no ponto $P$ desconsiderando a orientação). Três pontos não colineares, $A_1,A_2,$ e $B_1$ são dados no plano. Prove que é possível encontrar um disco no plano tal que para cada ponto $B_2$ no disco, o quadrilátero $A_1{A}_2{B}_1{B}_2$ seja convexo e seja possível construir apenas sete pontos fenomenais distintos (em relação a $A_1{A}_2{B}_1{B}_2$) usando uma régua direita. Com uma régua direita são permitidas as seguintes duas operações: Dados dois pontos é possível traçar a reta que os liga; Dado um ponto e uma linha reta, é possível traçar a linha reta que passa pelo ponto dado que é perpendicular à linha dada. Proposta por Á. Bán-Szabó, Budapeste