Q8 Matemática  (KoMaL A Problems 2020)

Cada uma das pessoas $N$ escolhe um número inteiro aleatório entre $1$ e $19$ (incluindo $1$ e $19$, e não necessariamente com a mesma distribuição). Os números aleatórios escolhidos pelas pessoas são independentes uns dos outros, e é verdade que cada pessoa escolhe cada um dos números de $19$ com probabilidade de no máximo $99\%$. Eles somam os números $N$ escolhidos e pegam o restante da soma dividido por $19$. Prove que a distribuição do resultado tende à distribuição uniforme exponencialmente, ou seja, existe um número $0<c<1$ tal que o resto mod $19$ da soma dos $N$ números escolhidos é igual a cada um dos restos mod $19$ com probabilidade entre $\frac{1}{19}-c^N$ e $\frac{1}{19}+c^N$.