Q7 Matemática  (KoMaL A Problems 2020)

Seja $b\ge 3$ um inteiro positivo e $\sigma$ uma permutação não-identitária do conjunto $\{0,1,\dots ,b-1\}$ tal que $\sigma (0)=0.$ A cifra de substituição $C_{\sigma }$ criptografa todo inteiro positivo $n$ substituindo cada dígito $a$ na representação de $n$ na base $b$ por $\sigma (a).$ Seja $d$ qualquer inteiro positivo tal que $b$ não divida $d.$ Dizemos que $C_{\sigma }$ está em conformidade com $d$ se $C_{\sigma }$ mapeia cada múltiplo de $d$ em um múltiplo de $d,$ e dizemos que $d$ é críptico se existir algum $C_{\sigma }$ tal que $C_{\sigma }$ esteja de acordo com $d.$ Seja $k$ qualquer número inteiro positivo, e seja $p=2^k+1.$ a) Encontre a maior potência de $2$ que é críptica na base $2p,$ e prove que existe apenas uma cifra de substituição que a cumpre. b) Encontre a maior potência de $p$ que é críptica na base $2p,$ e prove que existe apenas uma cifra de substituição que a cumpre. c) Suponha, ainda, que $p$ seja um número primo. Encontre o maior inteiro positivo críptico na base $2p$ e prove que existe apenas uma cifra de substituição que o cumpre. Proposto por Nikolai Beluhov, Bulgária