Q4 Matemática  (KoMaL A Problems 2020)

Seja $k>1$ um número ímpar fixo, e para inteiros não negativos $n$ seja $$f_n=\sum _{\begin{array}{c}0\le i\le n\\ k\mid n-2i\end{array}}binomni.$$Prove que $f_n$ satisfaz a seguinte recursão: $$f_n^2=\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)f_i{f}_{ni}.$$