Q16 Matemática  (KoMaL A Problems 2019)

Seja $a_1,a_2,\dots$ uma sequência de números reais do intervalo $[0,1]$. Prove que existe uma sequência $1⩽n_1<n_2<\dots$ de inteiros positivos tal que $$A=\underset{\begin{array}{c}i,j\to \infty \\ i\ne j\end{array}}{\lim }{a}_{n_i+n_j}$$existe, ou seja, para todo número real $ϵ>0$, existe uma constante $N_{ϵ}$ que $|a_{n_i+n_j}-A|<ϵ$ é satisfeita para qualquer par de índices distintos $i,j>N_{ϵ}$.