Q14 Matemática  (JBMO ShortLists 2020)

O inteiro positivo $k$ e o conjunto $A$ de inteiros distintos de $1$ a $3k$ inclusive são tais que não existem $a$, $b$, $c$ distintos em $A$ satisfazendo $2b=a+c$. Os números de $A$ no intervalo $[1,k]$ serão chamados pequenos; aqueles em $[k+1,2k]$ - médio e aqueles em $[2k+1,3k]$ - grande. É sempre verdade que não existem inteiros positivos $x$ e $d$ tal que se $x$, $x+d$ e $x+2d$ forem divididos por $3k$ então os restos pertencem a $A$ e os de $x$ e $x+d$ são diferentes e são: a) pequenos? b) médio? c) grande? (Neste problema, assumimos que se um múltiplo de $3k$ é dividido por $3k$, o resto é $3k$ em vez de $0$.)