Q8 Matemática (JBMO ShortLists 2020)

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Seja $△ A BC$ um triângulo retângulo com $∠ B A C = 9 0^{\circ}$ , e seja $E$ o pé da perpendicular de $A$ a $BC$ . Seja $Z \neq = A$ um ponto na reta $A B$ com $A B = BZ$ . Sejam $(c)$ e $(c_{1})$ as circunferências dos triângulos $△ A EZ$ e $△ BEZ$ , respectivamente. Seja $(c_{2})$ um círculo arbitrário passando pelos pontos $A$ e $E$ . Suponha que $(c_{1})$ encontre a linha $CZ$ novamente no ponto $F$ e encontre $(c_{2})$ novamente no ponto $N$ . Se $P$ é o outro ponto de intersecção de $(c_{2})$ com $A F$ , prove que os pontos $N$ , $B$ , $P$ são colineares.