Q12 Matemática  (JBMO ShortLists 2019)

Um economista e um estatístico jogam um jogo em uma calculadora que faz apenas uma operação. A calculadora exibe apenas números inteiros positivos e é usada da seguinte maneira: Denote por $n$ um número inteiro que é mostrado na calculadora. Uma pessoa digita um inteiro, $m$, escolhido do conjunto $\{1,2,...,99\}$ dos primeiros $99$ inteiros positivos, e se $m\%$ do número $n$ for novamente um inteiro positivo, a calculadora exibirá $m\%$ de $n$. Caso contrário, a calculadora mostra uma mensagem de erro e esta operação não é permitida. O jogo consiste em fazer alternadamente essas operações e o jogador que não conseguir fazer a operação perde. Quantos números de $\{1,2,...,2019\}$ garantem a estratégia vencedora para o estatístico, quem joga em segundo lugar? Por exemplo, se a calculadora mostrar $1200$, o economista pode digitar $50$, dando o número $600$ na calculadora, então o estatístico pode digitar $25$ dando o número $150$. Agora, por exemplo, o economista não pode digitar $75$ pois $75\%$ de $150$ não é um número inteiro positivo, mas pode escolher $40$ e o jogo continua até que um deles não consiga digitar um número permitido.