Q10 Matemática  (JBMO ShortLists 2016)

Seja $ABC$ um triângulo de ângulo agudo, $O$ seu circuncentro e $D,E,F$ pontos nos lados $BC,CA,AB$, respectivamente. O círculo $(c_1)$ de raio $FA$, centrado em $F$, cruza o segmento $OA$ em $A^{\prime }$ e o circuncírculo $(c)$ do triângulo $ABC$novamente em $K$. Da mesma forma, o círculo $(c_2)$ de raio $DB$, centrado em $D$, cruza o segmento $\left(OB\right)$ em $B^{\prime }$ e o círculo $(c)$ novamente em $L$. Finalmente, o círculo $(c_3)$ de raio $EC$, centrado em $E$, cruza o segmento $\left(OC\right)$ em $C^{\prime }$ e o círculo $(c)$ novamente em $M$. Prove que os quadriláteros $BKF{A}^{\prime },CLD{B}^{\prime }$ e $AME{C}^{\prime }$ são todos cíclicos e seus circuncírculos compartilham um ponto comum. Evangelos Psychas (Grécia)