Q6 Matemática  (JBMO ShortLists 2016)

Seja $S_n$ a soma dos valores recíprocos de dígitos diferentes de zero de todos os inteiros positivos até (e incluindo) $n$. Por exemplo, $S_{13}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{1}+frac11+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1}+\frac{1}{3}$. Encontre o menor inteiro positivo $k$ tornando o número $k!\cdot S_{2016}$ um inteiro.