Q5 Matemática  (JBMO ShortLists 2016)

Sejam $x,y,z$ números reais positivos tais que $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$ Prove que $$x+y+z\ge \sqrt{\frac{xy+1}{2}}+\sqrt{\frac{yz+1}{2}}+\sqrt{\frac{zx+1}{2}}.$$ Proposto pelo Azerbaijão Segunda Versão SugeridaSeja $x,y,z$ números reais positivos tais que $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$ Prove que $$x+y+z\ge \sqrt{\frac{x^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{y^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{z^2+1}{2}}.$$