Q10 Matemática  (JBMO ShortLists 2015)

Seja $ABC$ um triângulo agudo com $AB\ne AC$. O círculo $\omega$ do triângulo toca os lados $BC,CA$ e $AB$ em $D,E$ e $F$, respectivamente. A linha perpendicular erguida em $C$ em $BC$ encontra $EF$ em $M$, e da mesma forma a linha perpendicular erguida em $B$ em $BC$ encontra $EF$ em $N$. A linha $DM$ encontra $\omega$ novamente em $P$, e a linha $DN$ encontra $\omega$ novamente em $Q$. Prove que $DP=DQ$. Ruben Dario & Leo Giugiuc (Romênia)