Q25 Matemática  (JBMO ShortLists 2014)

Vukasin, Dimitrije, Dusan, Stefan e Filip pediram ao seu professor para adivinhar três números inteiros positivos consecutivos, após estas afirmações verdadeiras: Vukasin: "A soma dos dígitos de um número é número primo. A soma dos dígitos de outro dos outros dois é, um número perfeito par.($n$ é perfeito se $\sigma \left(n\right)=2n$). A soma dos dígitos do terceiro número é igual ao número de seus divisores positivos". Dimitrije:"Todos esses três números têm no máximo dois dígitos iguais a $1$ em sua representação decimal". Dusan:"Se adicionarmos $11$ a exatamente um deles, teremos um quadrado perfeito de um inteiro" Stefan:"Todos eles têm exatamente um divisor primo menor que $10$". Filip:"Os três números são livres de quadrados". O professor encontrou a resposta certa. Quais números ele mencionou?