Q19 Matemática (JBMO ShortLists 2014)

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Seja $A BC D$ um quadrilátero cujas diagonais não são perpendiculares e cujos lados $A B$ e $C D$ não são paralelos. Seja $O$ a interseção de suas diagonais. Denote com $H_{1}$ e $H_{2}$ os ortocentros dos triângulos $A OB$ e $CO D,$ respectivamente.Se $M$ e $N$ são os pontos médios das linhas de segmento $A B$ e $C D,$ respectivamente.Prove que as linhas $H_{1} H_{2}$ e $MN$ são paralelas se e somente se $A C = B D .$