Q10 Matemática  (JBMO ShortLists 2014)

Existem alguns números reais no tabuleiro (pelo menos dois). Em cada passo escolhemos dois deles, por exemplo $a$ e $b$, e depois os substituímos por $\frac{ab}{a+b}$. Continuamos até que haja um número. Prove que o último número não depende de qual ordem escolhemos os números a serem apagados.