Q12 Matemática  (JBMO ShortLists 2013)

Sejam $P$ e $Q$ os pontos médios dos lados $BC$ e $CD$, respectivamente, em um retângulo $ABCD$. Sejam $K$ e $M$ as interseções da reta $PD$ com as retas $QB$ e $QA$, respectivamente, e seja $N$ a interseção das retas $PA$ e $QB$. Sejam $X$, $Y$ e $Z$ os pontos médios dos segmentos $AN$, $KN$ e $AM$, respectivamente. Seja ${\ell }_1$ a reta que passa por $X$ e perpendicular a $MK$, ${\ell }_2$ a reta que passa por $Y$ e perpendicular a $AM$ e ${\ell }_3$ a reta que passa por $Z$ e perpendicular a $KN$. Prove que as linhas ${\ell }_1$, ${\ell }_2$ e ${\ell }_3$ são concorrentes.