Q11 Matemática  (JBMO ShortLists 2013)

Um círculo que passa pelo ponto médio $M$ do lado $BC$ e pelo vértice $A$ do triângulo $ABC$ intercepta os segmentos $AB$ e $AC$ pela segunda vez nos pontos $P$ e $Q$, respectivamente. Prove que se $\angle BAC=60^{\circ }$, então $AP+AQ+PQ<AB+AC+\frac{1}{2}BC$.