Q1 Matemática  (JBMO ShortLists 2005)

Seja $ABC$ um triângulo de ângulo agudo inscrito em um círculo $k$. É dado que a tangente de $A$ ao círculo encontra a reta $BC$ no ponto $P$. Seja $M$ o ponto médio do segmento de reta $AP$ e $R$ o segundo ponto de interseção do círculo $k$ com a reta $BM$. A reta $PR$ encontra novamente o círculo $k$ no ponto $S$ diferente de $R$. Prove que as linhas $AP$ e $CS$ são paralelas.