Q3 Matemática  (JBMO ShortLists 2004)

Seja $ABC$ um triângulo inscrito no círculo $C$. Os círculos $C_1,C_2,C_3$ são tangentes internamente com o círculo $C$ em $A_1,B_1,C_1$ e tangentes aos lados $[BC],[CA],[AB]$ nos pontos $A_2,B_2,C_2$ respectivamente, de modo que $A,A_1$ estejam de um lado de $BC$ e assim por diante. As linhas $A_1{A}_2,B_1{B}_2$ e $C_1{C}_2$ cruzam o círculo $C$ pela segunda vez nos pontos $A^{\prime },B^{\prime }$ e $C^{\prime }$, respectivamente. Se $M=B{B}^{\prime }\cap C{C}^{\prime }$, prove que $m(\angle MA{A}^{\prime })=90^{\circ }$ .