Q11 Matemática (JBMO ShortLists 2002)

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Seja $A BC D$ um quadrilátero convexo com $A B = A D$ e $BC = C D$ . Nos lados $A B, BC, C D, D A$ consideramos pontos $K, L, L_{1}, K_{1}$ tais que o quadrilátero $K L L_{1} K_{1}$ é retângulo. Considere então os retângulos $MNPQ$ inscritos no triângulo $B L K$ , onde $M \in K B, N \in B L, P, Q \in L K$ e $M_{1} N_{1} P_{1} Q_{1}$ inscritos no triângulo $D K_{1} L_{1}$ onde $P_{1}$ e $Q_{1}$ estão localizados em $L_{1} K_{1}$ , $M$ em $D K_{1}$ e $N_{1}$ em $D L_{1}$ . Sejam $S, S_{1}, S_{2}, S_{3}$ as áreas de $A BC D, K L L_{1} K_{1}, MNPQ, M_{1} N_{1} P_{1} Q_{1}$ respectivamente. Encontre o valor máximo possível da expressão: $\frac{S _{1} + S _{2} + S _{3}}{S}$