Q9 Matemática (JBMO ShortLists 2002)

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Seja $A BC$ um triângulo com área $S$ e pontos $D, E, F$ nos lados $BC, C A, A B$ . Perpendiculares nos pontos $D, E, F$ aos $BC, C A, A B$ cortam a circunferência do triângulo $A BC$ nos pontos $(D_{1}, D_{2}), (E_{1}, E_{2}), (F_{1}, F_{2})$ . Prove que: $∣ D_{1} B \cdot D_{1} C - D_{2} B \cdot D_{2} C ∣ + ∣ E_{1} A \cdot E_{1} C - E_{2} A \cdot E_{2} C ∣ + ∣ F_{1} B \cdot F_{1} A - F_{2} B \cdot F_{2} A ∣ > 4 S$